Объем конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем отсекаемого от данного конуса плоскостью.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, вершина которого совпадает с вершиной исходного конуса, а основание — это сечение плоскостью.

Так как плоскость проходит через середину высоты, то высота отсечённого малого конуса равна половине высоты исходного:

Сечения, параллельные основанию, дают подобные конусы. Значит, все линейные размеры малого конуса (в том числе радиус основания) уменьшаются в одинаковое число раз. Поскольку высота уменьшилась в 2 раза, то и радиус уменьшится в 2 раза:

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Коэффициент подобия здесь:

Тогда объём малого конуса:

Ответ: $4$ (объём части конуса, отсечённой плоскостью, то есть верхнего малого конуса).