2. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения. 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара. 4. Найти объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента равна 1/6 диаметра.

Задание 2

У нас есть шар с центром в точке O, и сечение этого шара проходит на расстоянии 9 см от центра. Длина окружности сечения равна $24\pi$ см.

1. Радиус сечения: Длина окружности $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности сечения. Из условия задачи $C = 24\pi$, значит, $2\pi r = 24\pi$. Отсюда получаем $r = 12$ см.

2. Радиус шара: Поскольку сечение проходит на расстоянии 9 см от центра шара, то этот радиус сечения $r = 12$ см и расстояние от центра шара до плоскости сечения $9$ см образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, которая является радиусом шара. Обозначим радиус шара как $R$. По теореме Пифагора получаем:

   $$R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.$$

   Тогда $R = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Объем меньшего шарового сегмента: Чтобы найти объем меньшего сегмента, используем формулу для объема шарового сегмента:

   $$V = \frac{\pi h^2 (3R - h)}{6},$$

   где $h$ — высота сегмента, а $R$ — радиус шара. Высоту $h$ сегмента можно найти через расстояние от центра до плоскости сечения:

   $$h = R - 9 = 15 - 9 = 6 \text{ см}.$$

   Подставим все данные в формулу:

   $$V = \frac{\pi (6)^2 (3 \cdot 15 - 6)}{6} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 39}{6} = \pi \cdot 234 = 234\pi \text{ см}^3.$$

Ответ: объем меньшего шарового сегмента равен $234\pi$ см³.

Задание 3

Радиус шара $R = 6$ см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара. Диаметр шара равен $2R = 12$ см, поэтому высота конуса $h_{\text{конуса}} = \frac{12}{3} = 4$ см.

1. Объем шарового сектора: Формула объема шарового сектора:

   $$V = \frac{1}{3} \pi h_{\text{конуса}} R^2.$$

   Подставляем значения:

   $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 36 = 48\pi \text{ см}^3.$$

Ответ: объем шарового сектора равен $48\pi$ см³.

Задание 4

Радиус шара $R = 6$ см, а высота соответствующего сегмента равна $\frac{1}{6}$ диаметра шара. Диаметр шара $2R = 12$ см, поэтому высота сегмента $h = \frac{12}{6} = 2$ см.

1. Объем шарового сектора: Мы можем использовать ту же формулу для объема шарового сектора:

   $$V = \frac{1}{3} \pi h_{\text{сектора}} R^2,$$

   где $h_{\text{сектора}} = 2$ см. Подставляем данные:

   $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \cdot 36 = 24\pi \text{ см}^3.$$

Ответ: объем шарового сектора равен $24\pi$ см³.