Сформируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12. Задача 12. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА₁ на стороне СА и СВ₁ на стороне СВ. Докажите равенства треугольников: 1) САВ₁ и СВА₁; 2) АВВ₁ и ВАА₁.

Теорема, обратная утверждению задачи 12:

Теорема: Если в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ от вершины $C$ отложены равные отрезки $CA_1$ на стороне $CA$ и $CB_1$ на стороне $CB$, и если треугольники $\triangle CA_1B_1$ и $\triangle CBA_1$ равны, то из этого следует, что треугольники $\triangle CAB_1$ и $\triangle CBA_1$ также равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB$ — основание, и от вершины $C$ отложены равные отрезки $CA_1$ и $CB_1$, причем эти отрезки лежат на сторонах $CA$ и $CB$.

1. Условия задачи:

• $\triangle CA_1B_1$ и $\triangle CBA_1$ равны. Это означает, что:

  • $CA_1 = CA_1$ (общее);

  • $CB_1 = CB_1$ (общее);

  • $\angle CA_1B_1C = \angle CBA_1C$ (углы между равными сторонами).

2. Доказательство равенства треугольников $\triangle CAB_1$ и $\triangle CBA_1$:

• Мы имеем два треугольника: $\triangle CAB_1$ и $\triangle CBA_1$. Чтобы доказать, что они равны, нам нужно показать, что выполняются соответствующие условия равенства треугольников:

  • Равенство сторон $CA_1 = CA_1$ и $CB_1 = CB_1$ уже очевидно из условия задачи.

  • Угол $\angle CAB_1$ равен углу $\angle CBA_1$ (по симметрии равнобедренного треугольника $ABC$, так как основания треугольников $AB_1$ и $BA_1$ противоположны).

  • Угол между сторонами $CA_1$ и $CB_1$ равен углу между сторонами $CA$ и $CB$, что также следует из симметрии.

Таким образом, с помощью симметрии и равенства соответствующих углов и сторон, мы можем утверждать, что треугольники $\triangle CAB_1$ и $\triangle CBA_1$ равны.

Это завершает доказательство теоремы.