Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне треугольника дана точка, удалённая от каждой вершины на расстояние 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Для решения задачи воспользуемся геометрией в трехмерном пространстве.

1. Исходные данные:

   • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см.

   • Точка вне треугольника удалена от каждой вершины на расстояние 10 см.

2. Предположим, что прямоугольный треугольник лежит в плоскости.
   Мы можем расположить его так, чтобы одна вершина находилась в начале координат, другая на оси X, а третья — на оси Y.

3. Определение координат точек:
   Пусть вершины прямоугольного треугольника в плоскости будут иметь координаты:

   • A(0, 0) — одна из вершин треугольника,

   • B(a, 0) — другая вершина, расположенная на оси X,

   • C(0, b) — третья вершина, расположенная на оси Y.

   Так как гипотенуза равна 12 см, можно выразить связь между длинами катетов через теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$.

4. Точка вне плоскости треугольника:
   Пусть эта точка P будет находиться на расстоянии 10 см от каждой вершины треугольника. Поскольку точка P удалена на одинаковое расстояние от всех вершин, она будет лежать на сфере, радиус которой равен 10 см и центр которой совпадает с центроидом треугольника.

   Центроид прямоугольного треугольника — это точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану пополам. Для треугольника с вершинами A(0, 0), B(a, 0), C(0, b) центроид будет находиться в точке $G\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}\right)$.

5. Расстояние от точки P до плоскости треугольника:
   Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости, нужно вычислить расстояние от точки P до плоскости, в которой лежит треугольник. Расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле для расстояния от точки до плоскости в пространстве. Плоскость треугольника задана уравнением, которое зависит от координат вершин. Однако, поскольку точка P расположена симметрично относительно всех вершин, расстояние от точки P до плоскости треугольника будет равно 10 см.

   Ответ: 10 см.