В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠CAD=45°, ∠ADC1=90°, AC=8, CC1=4√2. Найти S бок.поверхности?

Дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Так как он прямой, то боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а значит высота параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда (призмы) равна

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания $ABCD$. Значит, надо найти стороны основания.

1) Что даёт условие $\angle ADC_1=90^\circ$

Рассмотрим угол $\angle ADC_1$ с вершиной в точке $D$. Лучи:

• $DA$ лежит в основании;

• $DC_1$ — пространственный отрезок от $D$ к $C_1$.

Разложим вектор (направление) $DC_1$ на две части:

• проекция на основание: это $DC$;

• вертикальная составляющая: это $CC_1$, перпендикулярная основанию.

То есть направление $DC_1$ можно мыслить как «в плоскости основания идти по $DC$ и одновременно подняться вверх на высоту $CC_1$».

Так как $DA$ лежит в основании, то оно перпендикулярно вертикали $CC_1$. Поэтому условие

означает, что $DA$ перпендикулярно и горизонтальной части $DC$ (иначе угол с суммой горизонтали и вертикали не был бы прямым).

Значит,

Но в параллелограмме $DC \parallel AB$, следовательно:

Итак, основание $ABCD$ — прямоугольник.

Обозначим:

2) Используем $AC=8$

В прямоугольнике диагональ:

3) Используем $\angle CAD=45^\circ$

Угол $\angle CAD$ — это угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$.

В прямоугольнике в точке $A$ треугольник $\triangle A D C$ прямоугольный ($\angle ADC=90^\circ$), и

По условию $\angle CAD=45^\circ$, значит

Тогда из $a^2+b^2=64$: