В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $\angle ABC = 90^\circ$. Пусть $AB$ и $BC$ — катеты, а $AC$ — гипотенуза. Пусть проведена биссектриса угла $\angle ABC$, которая пересекает гипотенузу в точке $D$.

Теперь, через точку $D$ проведены прямые, параллельные катетам $AB$ и $BC$, и пусть эти прямые пересекаются в точке $P$, образуя четырёхугольник $ABPD$.

Наша задача — доказать, что четырёхугольник $ABPD$ является квадратом.

Шаг 1: Пропорциональность отрезков на гипотенузе

Так как биссектриса угла прямого угла в треугольнике делит гипотенузу на отрезки пропорционально прилежащим катетам, то выполняется следующее соотношение:

где $D$ — точка пересечения биссектрисы с гипотенузой.

Шаг 2: Параллельность прямых и равенство углов

Прямые, проведенные через точку $D$ параллельны катетам $AB$ и $BC$, следовательно, они образуют углы с прямыми, параллельными этим катетам. Это означает, что углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$ равны между собой, поскольку они опираются на одинаковые углы при параллельных прямых.

Шаг 3: Геометрия четырёхугольника

Так как прямые через точку $D$ параллельны катетам, и прямые, соединяющие точки на гипотенузе и эти прямые, образуют равные углы, четырёхугольник $ABPD$ оказывается прямоугольным. Также, из-за пропорциональности отрезков на гипотенузе и равенства углов, все его стороны оказываются равными.

Шаг 4: Доказательство, что это квадрат

В результате выполнения всех условий, четырёхугольник $ABPD$ является прямоугольником с равными сторонами, то есть квадратом.