Угол между прямой и осью $x$

Правило (коротко).
Если прямая задана уравнением $y = kx + b$ (или через две точки), то угол $\theta$ между этой прямой и положительным направлением оси $x$ находится по формуле

(если нужно направленный угол — берём значение $\arctan k$ в $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$). Часто интересуют беззнаковый (острый) угол между прямой и осью $x$; тогда берём

Если прямая вертикальна ($x=\text{const}$), то $k$ не определён и угол $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Варианты задания прямой и формулы

1. По угловому коэффициенту (slope)
   Если прямая $y=kx+b$, то $\theta=\arctan k$.
   Перевод в градусы: $\theta_{\text{°}}=\theta\cdot\frac{180}{\pi}$.

2. По двум точкам $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$
   Сначала наклон (угловой коэффициент)

   $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(\text{если }x_2\neq x_1).$$

   Затем $\theta=\arctan k$. Если $x_2=x_1$, то прямая вертикальна и $\theta=90^\circ$.

3. По общему виду $ax+by+c=0$
   Если $b\neq0$, то $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$, значит

   $$k=-\frac{a}{b},\qquad \theta=\arctan\!\bigl(-\frac{a}{b}\bigr).$$

   Если $b=0$ (тогда уравнение $ax+c=0$) — прямая вертикальна, $\theta=90^\circ$.

Примеры (считаем шаг за шагом)

1. Прямая через $(0,0)$ и $(1,1)$.
   $k=\dfrac{1-0}{1-0}=1$. Тогда $\theta=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$ радиан $=\;45^\circ$.

2. Прямая через $(0,0)$ и $(1,-1)$.
   $k=\dfrac{-1-0}{1-0}=-1$. $\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$ (направленный угол). Острый угол между прямой и осью $x$ равен $|\arctan(-1)|=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ$. Если нужно направление от положительной оси против часовой — можно взять $\theta=\arctan k+\pi$ (даёт угол в $[0,\pi)$).

3. Прямая $y=0$