DABC-тетраэдр, точки М и F - середины ребер AD и DC соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MBF и вычислите его периметр, если длина ребра тетраэдра равна 4 см.

Плоскость проходит через три точки: $M$, $B$ и $F$. Значит, сечение нужно искать как многоугольник, стороны которого лежат на гранях тетраэдра.

Разберём, какие именно отрезки получаются:

• точка $M$ лежит на ребре $AD$,

• точка $F$ лежит на ребре $DC$,

• точка $B$ — вершина тетраэдра.

На грани $ADC$ плоскость пересекает тетраэдр по отрезку $MF$.
На грани $ADB$ получается отрезок $MB$.
На грани $BCD$ получается отрезок $BF$.

Других точек пересечения с рёбрами нет, поэтому сечение — это треугольник $MBF$.

Теперь найдём его стороны.

1. Длина $MF$

В треугольнике $ADC$ точки $M$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $DC$.
Значит, $MF$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому:

Так как тетраэдр правильный и его ребро равно $4$ см, то:

Следовательно,

2. Длина $MB$

Рассмотрим грань $ADB$. Это равносторонний треугольник со стороной $4$ см.
Точка $M$ — середина стороны $AD$, значит, $BM$ — медиана равностороннего треугольника, а в нём медиана является и высотой.

Тогда:

где

Получаем:

3. Длина $BF$

Аналогично, в грани $BCD$ треугольник тоже равносторонний со стороной $4$ см, а $F$ — середина $DC$.
Значит,

4. Периметр сечения

Теперь складываем стороны треугольника $MBF$:

Ответ:

Сечение — треугольник $MBF$, его периметр равен