В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F так, что АЕ=CF. Докажите, что: a) ΔBDE = ΔBDF; б) ΔADE=ΔCDF.

Разберём задачу шаг за шагом, как если бы я отвечал на форуме, с детальным объяснением.

Дано:

• Равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Значит, $AB = BC$.

• Медиана $BD$, проведённая к основанию $AC$. Следовательно, $D$ — середина $AC$, и $AD = DC$.

• На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $E$ и $F$, такие что $AE = CF$.

Нужно доказать:

а) $ΔBDE \cong ΔBDF$
б) $ΔADE \cong ΔCDF$

Решение

Шаг 1. Рассмотрим медиану и симметрию

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, медиана $BD$ является также высотой и биссектрисой.
Это даёт важное свойство:

То есть точка $D$ делит основание $AC$ пополам.

Шаг 2. Сравним треугольники $BDE$ и $BDF$

• Рассмотрим $ΔBDE$ и $ΔBDF$.

• Они имеют общую сторону $BD$.

• По условию $AE = CF$.

• Так как $AD = DC$, имеем:

Пояснение: $DE = AB - AE - BD$ и $DF = BC - CF - BD$. Но $AB = BC$ и $AE = CF$, значит $DE = DF$.

• Общая сторона $BD$.

• Также угол при $B$ для этих треугольников одинаков, так как треугольник равнобедренный и $BD$ медиана, поэтому углы при $B$ симметричны:

Следовательно, по признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона):

✅ Это доказывает пункт а).

Шаг 3. Сравним треугольники $ADE$ и $CDF$

• Рассмотрим $ΔADE$ и $ΔCDF$.

• У нас:

• По условию $AE = CF$.

• Также угол при $A$ равен углу при $C$ в равнобедренном треугольнике ($\angle ADE = \angle CDF$), так как треугольник симметричный относительно медианы $BD$.

• Тогда по признаку сторона-угол-сторона (СУС):

✅ Это доказывает пункт б).

Вывод

1. Треугольники, образованные медианой и точками на сторонах равнобедренного треугольника, симметричны относительно медианы.

2. Используя равенство сторон и углов, можно доказать конгруэнтность:

Это завершает доказательство.

Если хочешь, могу нарисовать схему с точками $E, F, D$, чтобы было визуально понятно.