Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Хорошо, разберём задачу пошагово.

У нас есть конус, у которого высота $h$ равна радиусу основания $r$. Нужно найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Шаг 1: Вспомним, что такое осевое сечение

Осевое сечение конуса — это сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. Оно образует равнобедренный треугольник, у которого:

• основание = диаметр основания конуса $2r$

• высота = высота конуса $h$

• вершина треугольника совпадает с вершиной конуса.

Нам нужен угол при вершине этого треугольника.

Шаг 2: Обозначим и применим тригонометрию

Пусть вершина треугольника — точка $V$, основание — $AB$, где $AB = 2r$. Пусть угол при вершине = $\alpha$.

Если провести высоту треугольника от вершины к основанию, она делит основание пополам. Тогда в прямоугольном треугольнике, который образуется половиной основания:

• противолежащий катет = половина основания = $r$

• прилежащий катет = высота = $h$

Тогда $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h}$.

Шаг 3: Подставим данные

В задаче $h = r$, значит:

✅ Шаг 4: Ответ

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90°.

Если интересно, этот результат логичен: осевое сечение конуса с равными радиусом и высотой — равнобедренный прямоугольный треугольник.