Через вершину B треугольника ABC проведена прямая BD, параллельная стороне AC. Через точку N, лежащую на стороне BC, проведён луч AN, пересекающий прямую BD в точке D, а медиану BH в точке K. В каком отношении точка K делит отрезок BH, если BN:NC=1:2?

Давай разберём эту задачу шаг за шагом, используя координатный метод, чтобы точно найти отношение деления медианы.

1. Задаём координаты

Для удобства поместим треугольник в систему координат:

• Пусть $B = (0,0)$

• Пусть $C = (1,0)$

• Пусть $A = (0,1)$

Такое расположение упрощает вычисления и не меняет общего результата, так как все отношения пропорциональны.

2. Находим точку $N$ на $BC$

Дано, что $BN : NC = 1 : 2$.
Длина $BC = 1$, значит:

Так как $B=(0,0)$ и $C=(1,0)$, точка $N$ имеет координаты:

3. Находим точку $H$ — середину стороны $AC$

Медиана $BH$ идёт из вершины $B$ к середине $AC$. Середина $AC$ — это:

4. Уравнение прямой $BD$

Прямая $BD \parallel AC$. В нашем случае прямая $AC$ имеет координаты $A=(0,1)$ и $C=(1,0)$, её наклон:

Прямая, параллельная $AC$ и проходящая через $B=(0,0)$:

Эта прямая — $BD$.

5. Уравнение прямой $AN$

Прямая $AN$ проходит через $A=(0,1)$ и $N=(1/3,0)$. Найдём её уравнение:

Наклон:

Уравнение:

6. Находим точку $D = AN \cap BD$

Прямая $BD$ — $y=-x$, прямая $AN$ — $y=-3x+1$.

Приравниваем:

Значит $D = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)$.

7. Уравнение медианы $BH$

Медиана $BH$ проходит через $B=(0,0)$ и $H=(1/2,1/2)$. Наклон $k = 1$. Уравнение:

8. Находим точку $K = AN \cap BH$

Прямая $AN$ — $y = -3x + 1$, прямая