Середины оснований трапеции соединены отрезком. Докажите, что полученные две трапеции равновелики.

Для того чтобы доказать, что две трапеции, образованные отрезком, соединяющим середины оснований исходной трапеции, равновелики, рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причём $AB \parallel CD$, и отрезком, соединяющим середины этих оснований.

1. Обозначим середины оснований трапеции $ABCD$ точками $M$ и $N$, где $M$ — середина основания $AB$, а $N$ — середина основания $CD$.

2. Проведём отрезок $MN$, соединяющий эти середины. Точка $M$ делит основание $AB$ пополам, а точка $N$ — основание $CD$ пополам.

3. Получается две новые трапеции:

   • Трапеция $AMND$ с основаниями $AM$ и $DN$

   • Трапеция $BMNC$ с основаниями $BM$ и $CN$

4. Теперь воспользуемся свойством средней линии трапеции, которая соединяет середины оснований. Это свойство гласит, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, параллелен этим основаниям и его длина равна полусумме длин оснований. То есть:

   $$MN = \frac{AB + CD}{2}$$

   Поскольку $MN$ параллелен основаниям $AB$ и $CD$, он делит трапецию на две части с одинаковыми пропорциями.

5. Чтобы доказать, что две образовавшиеся трапеции равновелики, воспользуемся тем, что площади трапеции вычисляются по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$

   где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

   В трапеции $AMND$ основания $AM$ и $DN$ меньше, чем у исходной трапеции $ABCD$, но высота, соответственно, также уменьшается. Аналогично в трапеции $BMNC$, где основания $BM$ и $CN$ также меньше, чем у исходной трапеции.

6. Важно, что обе трапеции, $AMND$ и $BMNC$, имеют одинаковую высоту (так как отрезок $MN$ делит исходную трапецию пополам), а также одинаковые пропорции оснований, так как отрезок соединяет середины оснований. Это означает, что их площади одинаковы.

Таким образом, мы доказали, что трапеции $AMND$ и $BMNC$ равновелики.