В равнобедренной трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ перпендикулярна

Ответы на вопрос

Отвечает Τретьяков Артем.

Сведу задачу к координатам: из-за равнобедренности трапецию удобно поставить симметрично, тогда высота и смещения выражаются через меньшее основание.

Пусть большее основание равнобедренной трапеции равно $2$ , меньшее основание равно $x$ . По условию боковая сторона тоже равна $x$ .

Расположим трапецию симметрично: большее основание лежит внизу и имеет длину $2$ , меньшее основание длины $x$ лежит сверху. Тогда с каждой стороны горизонтальный «сдвиг» боковой стороны равен

\frac{2-x}{2}=1-\frac{x}{2}.

Обозначим высоту трапеции через $h$ .

Боковая сторона равна $x$ , поэтому по теореме Пифагора:

x^2=\left(1-\frac{x}{2}\right)^2+h^2.

Диагональ перпендикулярна боковой стороне. Рассмотрим диагональ, идущую из нижней левой вершины в верхнюю правую. Ее горизонтальная проекция равна

1+\frac{x}{2}.

Боковая сторона с другой стороны имеет горизонтальную проекцию

1-\frac{x}{2}.

Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, из условия скалярного произведения получается:

h^2=\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1-\frac{x}{2}\right).

То есть

h^2=1-\frac{x^2}{4}.

Подставим это в формулу для боковой стороны:

x^2=\left(1-\frac{x}{2}\right)^2+1-\frac{x^2}{4}.

Раскроем скобки:

x^2=1-x+\frac{x^2}{4}+1-\frac{x^2}{4}.

x^2=2-x.

x^2+x-2=0.

(x+2)(x-1)=0.

Так как длина положительна, получаем:

x=1.

Теперь найдем высоту:

h^2=1-\frac{1^2}{4}=\frac{3}{4}.

h=\frac{\sqrt3}{2}.

Диагональ имеет горизонтальную проекцию

1+\frac{x}{2}=1+\frac12=\frac32,

а вертикальную проекцию

\frac{\sqrt3}{2}.

По теореме Пифагора длина диагонали равна:

d^2=\left(\frac32\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2

d^2=\frac94+\frac34=\frac{12}{4}=3.

d=\sqrt3.

Ответ:

\boxed{\sqrt3}

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия