В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найти сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.

Пусть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна $3$ м.

Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе, одновременно является медианой. В таком треугольнике эта высота равна половине гипотенузы:

Квадрат расположен так, что одна его сторона лежит на гипотенузе, а противоположная сторона упирается концами в катеты. Обозначим сторону квадрата через $x$.

Если провести внутри треугольника отрезок, параллельный гипотенузе, на расстоянии $x$ от неё, то длина этого отрезка будет равна стороне квадрата, то есть тоже $x$.

По подобию треугольников длина такого параллельного отрезка уменьшается пропорционально расстоянию от гипотенузы. У всей гипотенузы длина $3$, а вся высота равна $1{,}5$. Поэтому:

Решим уравнение:

Значит, сторона квадрата равна: