В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На продолжении медианы за точку M взята точка D. Докажите, что треугольники AMD и CMD равны.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его боковые стороны равны:

Медиана $BM$ проведена к основанию $AC$, значит точка $M$ — середина основания, поэтому

Рассмотрим сначала треугольники $ABM$ и $CBM$.

В них:

по условию, так как $ABC$ равнобедренный;

потому что $BM$ — медиана;

— общая сторона.

Значит, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы при точке $M$ равны:

Но точки $A$, $M$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными. Равные смежные углы могут быть только прямыми, следовательно,

Значит,

Точка $D$ взята на продолжении медианы $BM$ за точку $M$, поэтому точки $B$, $M$, $D$ лежат на одной прямой. Следовательно, прямая $MD$ тоже перпендикулярна $AC$.

Тогда

Теперь рассмотрим треугольники $AMD$ и $CMD$.

В них:

так как $M$ — середина $AC$;

поскольку это общая сторона;

Значит, треугольники $AMD$ и $CMD$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно,

Что и требовалось доказать.