В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD, все рёбра которой равны 4. Точка K — середина бокового ребра AP. А) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K параллельно PB и BC. Б) Найти площадь сечения.

Решу через координаты: так легче строго построить сечение и затем получить его площадь без угадывания формы.

Пусть $ABCD$ — квадрат основания, $P$ — вершина пирамиды. Все рёбра равны $4$, значит основание — квадрат со стороной $4$, а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $4$.

А) Построение сечения

Плоскость должна проходить через точку $K$ и быть параллельной двум прямым $PB$ и $BC$.

Точка $K$ — середина ребра $AP$.

1. В грани $APB$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную $PB$.
   Она пересечёт ребро $AB$ в точке $M$.

   Так как в треугольнике $APB$ точка $K$ — середина $AP$, а $KM \parallel PB$, то по теореме о средней линии $M$ — середина $AB$.

2. В основании $ABCD$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную $BC$.
   Она пересечёт ребро $CD$ в точке $N$.

   Поскольку $M$ — середина $AB$, а $MN \parallel BC$, то $N$ — середина $CD$.

3. В грани $APD$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную $AD$, то есть параллельную $BC$.
   Она пересечёт ребро $PD$ в точке $L$.

   В треугольнике $APD$ точка $K$ — середина $AP$, поэтому $L$ — середина $PD$.

4. Соединяем точки $L$ и $N$.

Полученное сечение — четырёхугольник $KLMN$.

При этом

поэтому сечение является трапецией.

Б) Площадь сечения

Найдём длины оснований трапеции и её высоту.

Так как $K$ и $L$ — середины сторон $AP$ и $PD$ в треугольнике $APD$, то $KL$ — средняя линия этого треугольника.

Следовательно,

А $MN$ проходит через середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата основания, поэтому

Осталось найти высоту трапеции $KLMN$.

Рассмотрим боковую сторону $KM$. В треугольнике $APB$ отрезок $KM$ — средняя линия, значит

Трапеция $KLMN$ равнобедренная: её боковые стороны равны, то есть

Разность оснований равна

В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальный катет равен

Тогда высота трапеции равна

Теперь найдём площадь трапеции:

Подставляем:

Ответ:

Сечение — равнобедренная трапеция $KLMN$, где