Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM. Известно, что угол MBA = угол MBC = 90 градусов, MB = 42, CD = 40√2. Найдите расстояние от точки M до прямой AC.

Так как в квадрате $ABCD$ стороны $BA$ и $BC$ лежат в одной плоскости и пересекаются в точке $B$, а по условию

то прямая $BM$ перпендикулярна сразу двум пересекающимся прямым $BA$ и $BC$, лежащим в плоскости квадрата.

Значит,

То есть точка $B$ является ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость квадрата.

Дано:

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его сторона равна

Нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

Рассмотрим расстояние от точки $B$ до диагонали $AC$ в плоскости квадрата. Пусть это расстояние равно $BH$, где $H$ — основание перпендикуляра из $B$ на $AC$.

В квадрате диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, а расстояние от вершины $B$ до диагонали $AC$ равно

Тогда

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$. Поскольку $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата, то $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $B$, в частности $BH$. Значит,

Подставим значения:

Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно