Как найти основание равнобедренного треугольника, если известны медиана и одна сторона?

В равнобедренном треугольнике важно уточнить, какая именно медиана известна и какая сторона известна: боковая сторона или основание. Без этого задача может иметь разные решения.

Обозначим:

• $a$ — основание равнобедренного треугольника;

• $b$ — боковая сторона, то есть две равные стороны;

• $m$ — известная медиана.

1. Если известна боковая сторона и медиана к основанию

Это самый частый случай.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой. Она делит основание пополам.

Получаются два прямоугольных треугольника:

• гипотенуза — боковая сторона $b$;

• один катет — медиана $m$;

• второй катет — половина основания $\frac a2$.

По теореме Пифагора:

Отсюда:

Значит, основание равно:

То есть если известна боковая сторона $b$ и медиана к основанию $m$, то основание находится по формуле:

Например, если боковая сторона равна $13$, а медиана к основанию равна $12$, то:

Основание равно $10$.

2. Если известна боковая сторона и медиана к боковой стороне

Если медиана проведена не к основанию, а к одной из равных боковых сторон, то формула будет другой.

Для медианы к боковой стороне используется формула медианы:

где:

• $a$ — основание;

• $b$ — боковая сторона;

• $m$ — медиана к боковой стороне.

Тогда:

Значит:

Эта формула подходит только тогда, когда известна именно медиана к боковой стороне.

3. Если известна сторона, но неизвестно, основание это или боковая сторона

Тогда однозначно найти основание нельзя.

Например, если сказано просто: «известна медиана и одна сторона», но не указано:

• какая сторона дана — основание или боковая;

• к какой стороне проведена медиана,

то данных недостаточно. В равнобедренном треугольнике разные медианы имеют разные свойства, поэтому возможны разные ответы.

Главное правило

Если дана боковая сторона $b$ и медиана к основанию $m$, то основание находится так:

Это наиболее распространённая формула для такой задачи.