Дан тетраэдр SABC, все рёбра которого равны 4. На ребре AB отмечена точка K так, что AK = KB. Найдите площадь сечения данного тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной ребру SA.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Тетраэдр $SABC$ правильный, все рёбра равны 4.

• На ребре $AB$ отмечена точка $K$, такая что $AK = KB = 2$.

• Нужно найти площадь сечения плоскостью, проходящей через $K$ и перпендикулярной $SA$.

Шаг 1. Выберем систему координат

Чтобы удобнее было считать, разместим тетраэдр в 3D:

• Пусть $A = (0,0,0)$

• $B = (4,0,0)$

• $C = (2, 2\sqrt{3},0)$ — так как в треугольнике $ABC$ стороны равны 4, координаты подбираются по формуле правильного треугольника в плоскости $z=0$.

Для вершины $S$, которая находится над плоскостью $ABC$:

• Вершина $S$ находится так, чтобы все рёбра $SA = SB = SC = 4$.

• Центр треугольника $ABC$ $G = \left(\frac{A_x+B_x+C_x}{3}, \frac{A_y+B_y+C_y}{3}, 0\right) = \left(\frac{0+4+2}{3}, \frac{0+0+2\sqrt{3}}{3},0\right) = \left(2, \frac{2\sqrt{3}}{3},0\right)$.

• Расстояние от $S$ до любой вершины равно 4. Точка $S$ лежит над плоскостью $ABC$, координата $z_S = h$.

Найдем $h$ из условия $SA = 4$:

Пусть $S$ над центром $ABC$ для симметрии: $x_S = 2, y_S = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Тогда

Итак, $S = \left(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$