Медианы AM и CK треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если AM = 18 см, CK = 15 см, угол AOC = 120 градусов.

Основания трапеции равны 7 и 8 см, а диагонали 13 и 14 см. Найдите площадь трапеции.

1) Треугольник.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

\[ AO = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\ \text{см} \]

\[ CO = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\ \text{см} \]

Найдём площадь треугольника \(AOC\):

\[ S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin 120^\circ \]

\[ S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\ \text{см}^2 \]

Треугольник \(AOC\) составляет \(\frac{1}{3}\) площади всего треугольника \(ABC\), значит:

\[ S_{ABC} = 3 \cdot 30\sqrt{3} = 90\sqrt{3}\ \text{см}^2 \]

Ответ: \(90\sqrt{3}\ \text{см}^2\).

2) Трапеция.

Пусть основания равны \(7\) см и \(8\) см. Сумма проекций диагоналей на большее основание равна:

\[ 7 + 8 = 15 \]

Пусть эти проекции равны \(x\) и \(15 - x\), а высота равна \(h\). Тогда:

\[ x^2 + h^2 = 13^2 \]

\[ (15 - x)^2 + h^2 = 14^2 \]

Из этих уравнений получается:

\[ h = \frac{56}{5} \]

Площадь трапеции:

\[ S = \frac{7 + 8}{2} \cdot \frac{56}{5} = 84\ \text{см}^2 \]

Ответ: \(84\ \text{см}^2\).

0 0 Пожаловаться