Окружности радиусов 13 и 20 пересекаются в двух точках, расстояние между которыми равно 24. Найдите расстояние между радиусами, проведёнными к общей касательной этих окружностей.

Даны две окружности радиусов \(r_1 = 13\) и \(r_2 = 20\), пересекающиеся в двух точках. Расстояние между точками пересечения (длина общей хорды) равно 24. Найдём расстояние между центрами окружностей.

Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам. Половина хорды равна \(12\). Расстояния от центров до хорды:\[ d_1 = \sqrt{r_1^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5, \]\[ d_2 = \sqrt{r_2^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16. \]Так как окружности пересекаются, центры лежат по разные стороны от хорды, поэтому расстояние между центрами \(d = d_1 + d_2 = 5 + 16 = 21\).

Теперь найдём расстояние между радиусами, проведёнными к общей внешней касательной. Это длина отрезка касательной между точками касания. Для двух окружностей длина общей внешней касательной вычисляется по формуле:\[ L = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}. \]Подставляем:\[ L = \sqrt{21^2 - (20 - 13)^2} = \sqrt{441 - 7^2} = \sqrt{441 - 49} = \sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}. \]

Ответ: \(14\sqrt{2}\).

0 0 Пожаловаться