Две окружности пересекаются в точках E и F. Прямая, проходящая через точку E, пересекает окружности в точках A и B, а прямая, проходящая через точку F, — в точках C и D. Найдите угол BDC, если угол ACD = 112°.

Обозначим окружности так:

• Первая окружность проходит через точки $A,C,E,F$.

• Вторая окружность проходит через точки $B,D,E,F$.

• Точки $A,E,B$ лежат на одной прямой, и точки $C,F,D$ лежат на одной прямой.

1) Упростим, что такое $\angle BDC$

Так как $C,F,D$ коллинеарны, луч $DC$ совпадает с лучом $DF$. Поэтому

Значит, достаточно найти $\angle BDF$.

2) Используем цикличность $B,D,E,F$

Точки $B,D,E,F$ лежат на одной окружности, значит четырёхугольник $BDEF$ — вписанный, и его противоположные углы дополняют друг друга до $180^\circ$:

Отсюда

3) Заменим $\angle BEF$ на $\angle AEF$

Поскольку $A,E,B$ лежат на одной прямой, лучи $EB$ и $EA$ совпадают. Значит угол между $EB$ и $EF$ равен углу между $EA$ и $EF$:

Тогда

4) Найдём $\angle AEF$ через данное $\angle ACD$

Заметим: точки $C,F,D$ коллинеарны, поэтому луч $CD$ совпадает с лучом $CF$. Следовательно

По условию $\angle ACD = 112^\circ$, значит

Теперь рассмотрим вписанный четырёхугольник $A C E F$ (он вписан в первую окружность). В нём противоположные углы также дополняют друг друга до $180^\circ$:

Подставляем $\angle ACF = 112^\circ$:

5) Досчитаем $\angle BDF$ и вернёмся к $\angle BDC$

А так как $\angle BDC = \angle BDF$, получаем