В равнобедренном треугольнике угол при основании равен альфа. Найти отношение площади треугольника к площади описанного около него круга.

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(BC\) и боковыми сторонами \(AB = AC\). Углы при основании \(\angle ABC = \angle ACB = \alpha\). Тогда угол при вершине \(\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha\).

Пусть \(R\) — радиус описанной окружности. По теореме синусов:\[ \frac{a}{\sin(180^\circ-2\alpha)} = \frac{b}{\sin\alpha} = 2R, \]где \(a = BC\), \(b = AB = AC\). Так как \(\sin(180^\circ-2\alpha) = \sin 2\alpha\), получаем:\[ a = 2R \sin 2\alpha, \quad b = 2R \sin\alpha. \]

Площадь треугольника можно найти, например, через две стороны и угол между ними:\[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} b^2 \sin(180^\circ-2\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin 2\alpha. \]Подставляем \(b = 2R \sin\alpha\):\[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} (2R \sin\alpha)^2 \sin 2\alpha = 2R^2 \sin^2\alpha \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = 4R^2 \sin^3\alpha \cos\alpha. \]

Площадь круга: \(S_{\text{кр}} = \pi R^2\).

Искомое отношение:\[ \frac{S_{\triangle}}{S_{\text{кр}}} = \frac{4R^2 \sin^3\alpha \cos\alpha}{\pi R^2} = \frac{4}{\pi} \sin^3\alpha \cos\alpha. \]

0 0 Пожаловаться