Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а диагонали относятся как √3:√7. Найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны \(a = 2\), \(b = 4\). Диагонали \(d_1\) и \(d_2\) относятся как \(\sqrt{3} : \sqrt{7}\), то есть \(d_1 = k\sqrt{3}\), \(d_2 = k\sqrt{7}\).

По свойству параллелограмма: \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) = 2(4 + 16) = 40\).

Подставляем: \((k\sqrt{3})^2 + (k\sqrt{7})^2 = 3k^2 + 7k^2 = 10k^2 = 40\), откуда \(k^2 = 4\), \(k = 2\).

Тогда \(d_1 = 2\sqrt{3}\), \(d_2 = 2\sqrt{7}\).

Разность квадратов диагоналей: \(d_2^2 - d_1^2 = 28 - 12 = 16\). С другой стороны, \(d_2^2 - d_1^2 = 4ab \cos \varphi\), где \(\varphi\) — угол между сторонами. Получаем \(4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \varphi = 32 \cos \varphi = 16\), значит \(\cos \varphi = \frac{1}{2}\), \(\varphi = 60^\circ\).

Площадь параллелограмма: \(S = ab \sin \varphi = 2 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

Ответ: \(4\sqrt{3}\).

0 0 Пожаловаться