В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние между плоскостями AB₁D₁ и BDC₁, если сторона куба равна √3.

Введём систему координат с началом в точке \(A\): \(A(0,0,0)\), \(B(\sqrt{3},0,0)\), \(D(0,\sqrt{3},0)\), \(A_1(0,0,\sqrt{3})\) и т.д. Тогда:

Плоскость \(AB_1D_1\) проходит через \(A(0,0,0)\), \(B_1(\sqrt{3},0,\sqrt{3})\), \(D_1(0,\sqrt{3},\sqrt{3})\). Её уравнение: \(x + y - z = 0\).

Плоскость \(BDC_1\) проходит через \(B(\sqrt{3},0,0)\), \(D(0,\sqrt{3},0)\), \(C_1(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})\). Её уравнение: \(x + y - z = \sqrt{3}\).

Плоскости параллельны (коэффициенты при \(x, y, z\) одинаковы). Расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, делённому на длину нормального вектора \(\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}\):

\[ d = \frac{|\sqrt{3} - 0|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1. \]

Ответ: 1.

0 0 Пожаловаться