Докажите, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника, не являющегося квадратом, при пересечении образуют квадрат.

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) с прямыми углами. Проведём биссектрисы всех углов. Биссектриса угла \(A\) делит его на два угла по \(45^\circ\), аналогично для других углов.

Биссектрисы соседних углов, например \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(P\). В треугольнике \(APB\) углы \(\angle PAB = 45^\circ\) и \(\angle PBA = 45^\circ\), поэтому \(\angle APB = 90^\circ\). Треугольник равнобедренный и прямоугольный.

Аналогично для других пар. Четырёхугольник, образованный точками пересечения, имеет все углы по \(90^\circ\) (каждая вершина — пересечение двух биссектрис, дающих прямой угол). Стороны равны, так как являются гипотенузами равных треугольников. Значит, это квадрат.

0 0 Пожаловаться