Решите через теорему косинусов и синусов.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M, при этом AM = 1, BM = 4. Найдите CM, если известно, что угол BAC = 120°.

Обозначим отрезки касательных: AM = AP = 1, BM = BN = 4, CN = CP = x. Тогда AC = 1 + x, BC = 4 + x, AB = 5.

По теореме косинусов для треугольника ABC: (4 + x)² = 5² + (1 + x)² − 2·5·(1 + x)·cos 120°. Так как cos 120° = −½, получаем уравнение: (4 + x)² = 25 + (1 + x)² + 5(1 + x). Решив, находим x = 15. Тогда AC = 16, BC = 19.

Теперь в треугольнике ACM по теореме косинусов: CM² = AC² + AM² − 2·AC·AM·cos 120° = 16² + 1² − 2·16·1·(−½) = 256 + 1 + 16 = 273. Следовательно, CM = √273.

0 0 Пожаловаться