Изобразите сечение правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC. Все рёбра пирамиды равны 1. Найдите его площадь.

Введём систему координат: основание \(ABCD\) — квадрат со стороной 1. Пусть \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\). Все рёбра равны 1, поэтому вершина \(S\) находится над центром квадрата. Центр основания \((0{,}5; 0{,}5; 0)\). Высота \(h\): \(\sqrt{0{,}5^2 + 0{,}5^2 + h^2} = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Значит, \(S(0{,}5; 0{,}5; \frac{1}{\sqrt{2}})\).

Середина \(SC\) — точка \(M\): \(M\left(\frac{1+0{,}5}{2}; \frac{1+0{,}5}{2}; \frac{0+1/\sqrt{2}}{2}\right) = (0{,}75; 0{,}75; \frac{1}{2\sqrt{2}})\).

Плоскость сечения проходит через \(A, B, M\). Её уравнение: \(y = \frac{3}{\sqrt{2}} z\).

Найдём пересечение плоскости с ребром \(SD\). Параметрически \(SD\): \(S + t(D - S) = (0{,}5 - 0{,}5t; 0{,}5 + 0{,}5t; \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{t}{\sqrt{2}})\). Подставляем в уравнение плоскости: \(0{,}5 + 0{,}5t = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - t) = \frac{3}{2}(1 - t)\). Решаем: \(1 + t = 3 - 3t \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = 0{,}5\). Точка \(N\) — середина \(SD\): \(N(0{,}25; 0{,}75; \frac{1}{2\sqrt{2}})\).

Сечение — четырёхугольник \(ABMN\). Так как \(AB \parallel MN\) (обе линии параллельны оси \(x\)), это трапеция. Основания: \(AB = 1\), \(MN = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Высота трапеции — расстояние между параллельными прямыми \(AB\) и \(MN\) в плоскости \(yz\): \(\sqrt{(0{,}75)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}\).

Площадь трапеции: \(S = \frac{AB + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0{,}5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{1{,}5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}\).

Ответ: \(\frac{3\sqrt{11}}{16}\).

0 0 Пожаловаться