Вот как это решается.

1) Сечение куба через середины AA₁, B₁C₁ и CD

Обозначим: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$, верх: $A_1(0,0,a),\ B_1(a,0,a),\ C_1(a,a,a),\ D_1(0,a,a)$.

Даны середины:

• $M$ — середина $AA_1:\ M(0,0,\tfrac a2)$;

• $N$ — середина $B_1C_1:\ N(a,\tfrac a2,a)$;

• $P$ — середина $CD:\ P(\tfrac a2,a,0)$.

Плоскость $MNP$ имеет уравнение $-x+y+z=\tfrac a2$ (легко проверить подстановкой $M,N,P$). Пересечение этой плоскости с рёбрами куба даёт шесть точек:

Значит, сечение — правильный шестиугольник (аффинно-правильный): вершины лежат попарно на трёх «поясах» рёбер.

Площадь. Удобно спроецировать на плоскость сечения или, что эквивалентно, разбить шестиугольник на 6 треугольников от центра куба $(\tfrac a2,\tfrac a2,\tfrac a2)$. Вычисление даёт

Ответ к 1): сечение — шестиугольник; его площадь $\boxed{\dfrac{3\sqrt3}{4}\,a^2}$.

2) Полная поверхность пирамиды с ромбом в основании

Дано: основание — ромб со большей диагональю $d$ и острым углом $\alpha$. Все двугранные углы при основании равны $\beta$.

Полезные факты для ромба (сторона $s$):

• Диагонали: $p=2s\cos\!\frac\alpha2$ (бóльшая), $q=2s\sin\!\frac\alpha2$.

• Отсюда $s=\dfrac d{2\cos(\alpha/2)}$.

• Площадь основания:

(то же выйдет из $S=\tfrac12 pq=\tfrac12 d\,q$ и $q=d\tan\frac\alpha2$