В прямой четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4 см, боковое ребро 5 см. Найдите:
А) площадь боковой поверхности пирамиды
Б) объём пирамиды
В) угол между боковой гранью и плоскостью основания

Будем считать, что дана правильная четырёхугольная пирамида: в основании квадрат со стороной \(4\) см, все боковые рёбра равны \(5\) см.

А) Площадь боковой поверхности

Одна боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(5\), \(5\) и основанием \(4\). Высота этой грани:

\[l=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}\]

Площадь одной грани:

\[S_1=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{21}=2\sqrt{21}\]

Таких граней 4, значит:

\[S_{\text{бок}}}=4\cdot 2\sqrt{21}=8\sqrt{21}\]

Ответ А: \(8\sqrt{21}\) см².

Б) Объём пирамиды

Расстояние от центра квадрата до его вершины:

\[R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\]

Высота пирамиды:

\[h=\sqrt{5^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}\]

Площадь основания:

\[S_{\text{осн}}=4^2=16\]

Объём:

\[V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{16\sqrt{17}}{3}\]

Ответ Б: \(\frac{16\sqrt{17}}{3}\) см³.

В) Угол между боковой гранью и плоскостью основания

Этот угол можно найти в сечении через высоту пирамиды и середину стороны основания. Пусть угол равен \(\varphi\). Тогда:

\[\tan \varphi=\frac{\sqrt{17}}{2}\]

Значит:

\[\varphi=\arctan \frac{\sqrt{17}}{2}\approx 64^\circ\]

Ответ В: примерно \(64^\circ\).

0 0 Пожаловаться