Объём правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое её ребро увеличили в два раза, а потом каждую сторону оснований уменьшили в 3 раза. Найдите объём полученной призмы.

Обозначим сторону правильного шестиугольника в основании через \(a\), высоту призмы через \(h\). Площадь основания равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Тогда исходный объём \(V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 h = 180\).

После увеличения каждого ребра в 2 раза сторона становится \(2a\), высота \(2h\). Затем стороны оснований уменьшают в 3 раза: новая сторона \(\frac{2a}{3}\), высота остаётся \(2h\).

Площадь нового основания: \(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{2a}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4a^2}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2\).

Новый объём: \(V' = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2 \cdot 2h = \frac{4\sqrt{3}}{3}a^2 h\).

Из исходного объёма \(a^2 h = \frac{180 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}\). Подставляем: \(V' = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 40\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 40 \cdot 3}{3} = 160\).

Объём полученной призмы равен 160.

0 0 Пожаловаться