Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна \( a \), диагональ призмы образует с плоскостью основания угол \( 45^\circ \). Найдите диагональ призмы, площадь боковой поверхности призмы, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Диагональ призмы

Предположим, что основание призмы — это квадрат со стороной $a$. Поскольку призма правильная, её боковые грани прямоугольные, и диагональ будет проходить через всю призму.

Для нахождения диагонали призмы будем использовать теорему Пифагора в трёхмерном пространстве. Пусть высота призмы $h$. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Тогда диагональ призмы $d$ можно найти через её проекцию на основание и высоту призмы.

1. Диагональ основания квадрата (диагональ основания):

   $$d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.$$

2. Диагональ всей призмы будет гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого одна катета — это диагональ основания, а второй катет — это высота призмы $h$. Мы знаем, что угол между диагональю призмы и плоскостью основания составляет $45^\circ$. Таким образом, угол между диагональю призмы и осью высоты равен $45^\circ$, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты $h$.

   Так как угол $45^\circ$ и проекция диагонали на основание:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{h}{d}.$$

   Подставляем $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}.$$

   Решаем относительно $h$:

   $$h = \frac{a}{\sqrt{2}}.$$

3. Теперь, зная $h$, находим диагональ призмы. Это гипотенуза треугольника с катетами $a\sqrt{2}$ (диагональ основания) и $h = \frac{a}{\sqrt{2}}$:

   $$d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{5a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.$$

2. Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Периметр квадрата основания:

Площадь боковой поверхности:

3. Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани

Теперь найдём угол между диагональю призмы и плоскостью одной из боковых граней. Для этого вспомним, что боковая грань призмы — это прямоугольный параллелепипед, и диагональ призмы образует угол с её вертикальной гранью. Мы знаем, что угол между диагональю призмы и плоскостью основания $45^\circ$, а также что боковая грань и основание пересекаются под прямым углом.

Чтобы найти угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани, используем теорему о двух углах между прямыми в пространстве. Результат будет $45^\circ$, так как угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен углу между диагональю основания и боковой стороной.

Ответ:

1. Диагональ призмы: $\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$