Образующая конуса 40 см наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту конуса, радиус основания, площадь полной поверхности конуса.
Помогите пожалуйста Рисунок и решение.
Заранее спасибо

Рассмотрим осевое сечение конуса: получается прямоугольный треугольник. Образующая конуса — это гипотенуза, она равна \( l=40 \) см. Угол между образующей и плоскостью основания равен \( 30^\circ \).

Схема: вершина конуса \( S \), центр основания \( O \), точка на окружности основания \( A \). Тогда \( SA=40 \) см — образующая, \( SO=h \) — высота, \( OA=r \) — радиус.

В прямоугольном треугольнике \( SOA \):

\[h=l\cdot \sin 30^\circ\]

\[h=40\cdot \frac{1}{2}=20\text{ см}\]

Радиус основания:

\[r=l\cdot \cos 30^\circ\]

\[r=40\cdot \frac{\sqrt3}{2}=20\sqrt3\text{ см}\]

Площадь полной поверхности конуса:

\[S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\]

\[S_{\text{полн}}=\pi rl+\pi r^2\]

Подставим:

\[S_{\text{полн}}=\pi\cdot 20\sqrt3\cdot 40+\pi\cdot (20\sqrt3)^2\]

\[S_{\text{полн}}=800\pi\sqrt3+1200\pi\]

\[S_{\text{полн}}=400\pi(2\sqrt3+3)\text{ см}^2\]

Ответ: высота \( 20 \) см, радиус основания \( 20\sqrt3 \) см, площадь полной поверхности \( 400\pi(2\sqrt3+3)\text{ см}^2 \).

0 0 Пожаловаться