Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC (∠C=90°) пересекаются в точке O. Найдите гипотенузу, если AO = √10, OB = √5.

Решу через свойства центра вписанной окружности: расстояние от вершины до инцентра выражается через радиус вписанной окружности и половину угла.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности, то есть инцентр. Обозначим радиус вписанной окружности через $r$.

Пусть

Так как треугольник прямоугольный и $\angle C=90^\circ$, то

Инцентр лежит на биссектрисах, поэтому расстояние от вершины до инцентра выражается так:

По условию:

Значит,

Отсюда

и

Приравняем:

Делим на $\sqrt5$:

Так как

то

Обозначим

Тогда

Раскрываем левую часть:

Получаем:

Делим на $\frac{\sqrt2}{2}$: