Как доказать, что в правильном восьмиугольнике существуют три параллельные диагонали?

Обозначим вершины правильного восьмиугольника по порядку:

A, B, C, D, E, F, G, H.

Рассмотрим три диагонали:

BH, CG и DF.

Докажем, что они параллельны.

В правильном восьмиугольнике все вершины лежат на одной окружности, а фигура имеет оси симметрии. Одна из осей симметрии проходит через противоположные вершины A и E. Эта прямая является осью симметрии восьмиугольника.

Относительно прямой AE вершины располагаются попарно симметрично:

• вершина B симметрична вершине H;

• вершина C симметрична вершине G;

• вершина D симметрична вершине F.

Если две точки симметричны относительно некоторой прямой, то отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен оси симметрии. Значит:

BH ⟂ AE,
CG ⟂ AE,
DF ⟂ AE.

Но если несколько прямых перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно,

BH ∥ CG ∥ DF.

При этом BH, CG и DF действительно являются диагоналями восьмиугольника, потому что каждая из них соединяет две несоседние вершины.

Значит, в правильном восьмиугольнике существуют три параллельные диагонали.