Стороны правильного треугольника равны 12 см. Точка D, лежащая вне плоскости треугольника, соединена с вершинами треугольника. Все наклонные образуют с плоскостью угол, равный 45˚. Найдите расстояние от точки D до вершин треугольника.

Пусть $ABC$ — правильный треугольник со стороной $12$ см, а $D$ — точка вне его плоскости.

Опустим из точки $D$ перпендикуляр на плоскость треугольника. Пусть основание перпендикуляра — точка $O$.

Тогда $DO$ — расстояние от точки $D$ до плоскости треугольника, а отрезки $AO$, $BO$, $CO$ являются проекциями наклонных $DA$, $DB$, $DC$ на плоскость.

По условию каждая наклонная образует с плоскостью угол $45^\circ$. Значит, например, в прямоугольном треугольнике $DAO$:

Так как $DO \perp AO$, треугольник $DAO$ прямоугольный. При угле $45^\circ$ его катеты равны:

Аналогично:

Следовательно,

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин правильного треугольника, значит, она является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $a$ равен:

При $a = 12$:

Значит,

Теперь найдем наклонную $DA$. В прямоугольном треугольнике $DAO$:

Так как все наклонные находятся в одинаковых условиях, получаем:

Ответ: расстояние от точки $D$ до каждой вершины треугольника равно $4\sqrt{6}$ см.