На каждой стороне правильного треугольника взята точка. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая взятая точка делит сторону исходного треугольника?

Обозначим исходный равносторонний треугольник $ABC$. На его сторонах взяты точки $A_1 \in BC$, $B_1 \in CA$, $C_1 \in AB$. Предположим, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ попарно перпендикулярны сторонам исходного треугольника в циклическом порядке (то есть каждая сторона нового треугольника перпендикулярна одной из сторон исходного).

Из симметрии задачи сразу следует важный факт: поскольку исходный треугольник равносторонний, а условия задают жёсткую связь «перпендикулярность + замкнутый треугольник», конфигурация возможна только при одинаковом способе деления всех трёх сторон. То есть каждая точка делит свою сторону в одном и том же отношении.

Дальше удобно перейти к координатной или векторной модели. В равностороннем треугольнике направления сторон отличаются на $60^\circ$. Перпендикуляр к стороне поворачивает направление на $90^\circ$, а значит, стороны нового треугольника оказываются жёстко “привязаны” к направлениям исходного треугольника.

Если выписать условия перпендикулярности для всех трёх сторон $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$, то получается система линейных соотношений вдоль сторон $AB$, $BC$, $CA$. Решение этой системы в равносторонней геометрии даёт единственную нетривиальную пропорцию разбиения каждой стороны:

Иными словами, каждая точка делит соответствующую сторону в отношении

Это означает, что если, например, точка взята на стороне $BC$, то она расположена ближе к одной из вершин так, что меньший отрезок равен одной части, а больший — двум таким же частям.

Ответ: каждая взятая точка делит сторону исходного равностороннего треугольника в отношении $1:2$.