Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Пусть данные пересекающиеся прямые обозначены $a$ и $b$, а их точка пересечения — $M$.

Прямые $a$ и $b$, так как они пересекаются, определяют единственную плоскость $\alpha$.

Рассмотрим произвольную прямую $c$, которая не проходит через точку $M$ и пересекает обе данные прямые. Пусть

Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, поскольку $A$ лежит на прямой $a$, а $B$ — на прямой $b$.

Докажем, что $A\ne B$. Если бы $A=B$, то эта точка принадлежала бы одновременно прямым $a$ и $b$. Но у пересекающихся прямых $a$ и $b$ общая точка только одна — $M$. Значит, $A=B=M$. Тогда прямая $c$ проходила бы через $M$, что противоречит условию.

Следовательно, $A$ и $B$ — две различные точки плоскости $\alpha$. Через две различные точки проходит единственная прямая, и эта прямая целиком лежит в плоскости $\alpha$. Значит,

Следовательно, все прямые, не проходящие через точку $M$ и пересекающие обе данные прямые, лежат в одной плоскости — в плоскости, определяемой данными прямыми.

Все ли прямые, проходящие через точку $M$, лежат в одной плоскости? Нет, не обязательно.

Например, две исходные прямые $a$ и $b$ задают плоскость $\alpha$. Через точку $M$ можно провести прямую $d$, не лежащую в этой плоскости. Тогда прямые $a$, $b$ и $d$ не могут находиться в одной плоскости: любая плоскость, содержащая $a$ и $b$, должна совпадать с $\alpha$, а прямая $d$ в ней не лежит.