2. В окружности с центром О диаметр EF проходит через середину хорды КМ. Найдите все внутренние углы, если один из них на 24° больше другого.

Рассмотрим четырёхугольник $EKFM$, вписанный в окружность.

Так как диаметр $EF$ проходит через середину хорды $KM$, то он перпендикулярен этой хорде и является осью симметрии. Значит, точки $K$ и $M$ симметричны относительно диаметра $EF$, поэтому углы при вершинах $K$ и $M$ равны:

Но $EKFM$ — вписанный четырёхугольник, а сумма противоположных углов любого вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Углы $K$ и $M$ являются противоположными, значит:

Так как они равны, каждый из них равен:

Теперь найдём два оставшихся угла — при вершинах $E$ и $F$. Они тоже являются противоположными, поэтому:

По условию один из них на $24^\circ$ больше другого. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший:

Получаем:

Тогда больший угол:

Следовательно, все внутренние углы четырёхугольника:

То есть два угла равны $90^\circ$, а два других — $78^\circ$ и $102^\circ$.