Дан клетчатый прямоугольник 11×9 и замкнутая несамопересекающаяся ломаная, вершинами которой являются центры клеток, и все центры клеток лежат на этой ломаной. Чему равна площадь фигуры, которую эта ломаная ограничивает?

Рассмотрим центры клеток как точки на координатной плоскости. Удобно считать, что они имеют целые координаты: по горизонтали их 11 (например, $x=1,2,\dots,11$), а по вертикали 9 (например, $y=1,2,\dots,9$). Всего таких точек:

Ломаная является простой замкнутой линией, а все эти 99 точек лежат на ней. Значит, все 99 точек являются граничными точками получившейся фигуры.

Других целочисленных точек на границе быть не может. Действительно, вся фигура находится внутри прямоугольника, ограниченного крайними центрами клеток, а все целочисленные точки внутри этого прямоугольника — это как раз данные 99 центров клеток.

Используем теорему Пика:

где
$S$ — площадь фигуры,
$I$ — число целочисленных точек внутри фигуры,
$B$ — число целочисленных точек на её границе.

Так как все центры клеток находятся на границе, внутри нет ни одной целочисленной точки:

А число граничных точек:

Следовательно,

Итак, площадь фигуры равна

или $48{,}5$ квадратных единиц.