1. В треугольнике АВС ∠А = 70°, ∠С = 55°.

а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание.

б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них.

а) Докажите, что △АОС = △BOD.

б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°.

3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

1. В треугольнике $ABC$: $\angle A=70^\circ$, $\angle C=55^\circ$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный, и укажите основание.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $B$:

Получили:

В треугольнике равным углам противолежат равные стороны. Значит:

Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Равные стороны $AB$ и $AC$ являются боковыми сторонами, поэтому основание треугольника — сторона $BC$.

б) $BM$ — высота треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол $ABC$.

Так как $BM$ — высота, то:

Значит, в треугольнике $ABM$:

Угол при вершине $A$ остаётся таким же:

Тогда:

Весь угол $ABC=55^\circ$. Высота разделила его на два угла:

и

Ответ: высота $BM$ делит угол $ABC$ на углы $20^\circ$ и $35^\circ$.

2. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них.

а) Докажите, что $\triangle AOC=\triangle BOD$.

Так как точка $O$ — середина отрезков $AB$ и $CD$, то:

и

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, поэтому:

Получаем, что в треугольниках $AOC$ и $BOD$:

• $AO=OB$;

• $CO=OD$;

• $\angle AOC=\angle BOD$.

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (признак САС):

б) Найдите $\angle OAC$, если $\angle ODB=20^\circ$, $\angle AOC=115^\circ$.

Так как треугольники $AOC$ и $BOD$ равны, то соответствующие углы равны:

Рассмотрим треугольник $BOD$.

Известно:

Сумма углов треугольника:

Значит:

Ответ: $\angle OAC=45^\circ$.

3. В равнобедренном треугольнике периметр равен 64 см. Одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны.

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.

Рассмотрим возможные случаи.

1 случай: сторона 16 см — это основание. Тогда две боковые стороны равны: