Что такое отображение плоскости на себя? Объясните по-русски.

Отображение плоскости на себя — это правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости.

Проще говоря, есть плоскость и преобразование, которое «перемещает» её точки. Если точка $A$ после такого преобразования переходит в точку $A^{\prime }$, пишут, что $A^{\prime }$ — образ точки $A$.

Например, отображениями плоскости на себя являются:

• параллельный перенос — все точки сдвигаются в одном направлении на одинаковое расстояние;

• поворот — точки поворачиваются вокруг некоторого центра на заданный угол;

• осевая симметрия — точки отражаются относительно прямой;

• центральная симметрия — точки отражаются относительно одной фиксированной точки;

• гомотетия — расстояния от некоторого центра увеличиваются или уменьшаются в определённое число раз.

В координатах отображение можно задать формулами. Например,

означает, что каждая точка с координатами $(x,y)$ переходит в точку $(x+2,y-1)$. Это параллельный перенос на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Важно понимать, что слово «на себя» означает не то, что каждая точка обязательно остаётся на своём месте. Оно означает, что и исходные точки, и их образы принадлежат одной и той же плоскости.

В более формальном виде: если плоскость обозначить буквой $P$, то отображение плоскости на себя — это функция

которая каждой точке $M\in P$ сопоставляет единственную точку $f(M)\in P$.

При этом отображение не обязательно сохраняет расстояния, углы или форму фигур. Если же оно сохраняет расстояния между всеми точками, такое отображение называют движением плоскости. Например, параллельный перенос, поворот и симметрия являются движениями.

Таким образом, отображение плоскости на себя — это любое заданное правило преобразования точек плоскости, при котором результатом снова являются точки той же плоскости.