1. Запишите формулы площади треугольника двумя способами (рис. 29).
2. Найдите площадь треугольника MPK, используя рисунок 31. Проведите высоту к стороне PK из точки M. Найдите её длину. Запишите решение и все возможные случаи.

1. Формулы площади треугольника двумя способами

Для первого треугольника на рис. 29 даны стороны $a$ и $b$ и соответствующие им высоты $h_1$ и $h_2$. Поэтому площадь можно записать двумя способами:

или

Для прямоугольного треугольника $ABC$ площадь можно найти по катетам $AB$ и $AC$, а также по гипотенузе $BC$ и проведённой к ней высоте $AH$:

или

Именно такие элементы показаны на рис. 29. ru-static.z-dn.net+1

2. Площадь треугольника $MPK$ и высота из точки $M$

По рисунку $PH\perp MK$, $MH=7$, $HK=24$. Также в прямоугольном треугольнике $MPH$ один из острых углов равен $45^{\circ }$. Тогда второй острый угол тоже равен $45^{\circ }$, поэтому треугольник $MPH$ — равнобедренный прямоугольный:

Так как точка $H$ находится между $M$ и $K$, получаем:

Теперь найдём площадь треугольника $MPK$. Берём основание $MK$, а высотой к нему является $PH=7$:

Подставим значения:

Следовательно,

Теперь найдём сторону $PK$. Треугольник $PHK$ прямоугольный, его катеты равны $PH=7$ и $HK=24$. По теореме Пифагора:

Проведём из точки $M$ перпендикуляр $MT$ к прямой $PK$. Отрезок $MT$ и есть искомая высота.

Площадь того же треугольника теперь запишем через основание $PK$:

Подставим найденные значения:

Умножим обе части на $2$:

Отсюда

Значит,

В данном треугольнике угол при $P$ тупой, поэтому основание высоты $T$ находится