Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану ВК
в точке Е, при этом BD : CD =1:3. Найдите площадь четырёхугольника EDCK.
Пожалуйста помогите по подробнее и если можно, то через площадь треугольника там где синус и сво-во биссектрисы. Заранее спс!!!

Решение задачи:

1. Дано:
   • Площадь треугольника $ABC$ равна $80$.
   • $AD$ — биссектриса.
   • $BK$ — медиана.
   • $BD : CD = 1:3$.
   • Биссектриса $AD$ пересекает медиану $BK$ в точке $E$.
   • Нужно найти площадь четырёхугольника $EDCK$.

2. Начнем с анализа треугольника:

   Треугольник $ABC$ разбивается на две части биссектрисой $AD$. Свойство биссектрисы говорит нам, что она делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам:

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$$

   По условию, $BD : DC = 1:3$, поэтому $AB : AC = 1:3$. Пусть $AB = x$ и $AC = 3x$.

3. Медиана делит треугольник на равные площади:

   Медиана $BK$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника равной площади, то есть:

   $$S_{\triangle ABK} = S_{\triangle BCK} = \frac{S_{\triangle ABC}}{2} = \frac{80}{2} = 40.$$

4. Координаты точки $D$ на основании $BC$:

   Пусть $BC = a$, так как $BD : DC = 1:3$, то $BD = \frac{a}{4}$ и $DC = \frac{3a}{4}$. Точка $D$ делит сторону $BC$ на такие части.

5. Медиана $BK$:

   Точка $K$ — середина стороны $AC$. Так как $AC = 3x$, то координаты $K$ (если рассмотреть точку $A$ в координатах и использовать отрезок $AC$) находятся в средней точке:

   $$K = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right).$$

6. Площадь четырёхугольника $EDCK$:

   Четырёхугольник $EDCK$ состоит из двух треугольников $\triangle EDC$ и $\triangle ECK$. Нам нужно найти их площади.

Расчеты через площадь треугольника:

Площадь треугольника через синус:

где $a$ и $b$ — стороны, а $C$ — угол между ними.

1. Площадь $\triangle EDC$:

   Треугольник $\triangle EDC$ лежит внутри треугольника $\triangle BCD$, площадь которого равна четверти площади треугольника $ABC$, так как $BD:DC = 1:3$.

   Площадь $\triangle BCD$:

   $$S_{\triangle BCD} = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60.$$

   Точка $E$ делит медиану в отношении $2:1$ (свойство точки пересечения медианы и биссектрисы), поэтому площадь треугольника $\triangle EDC$ составляет $\frac{2}{3}$ от площади треугольника $\triangle BCD$:

   $$S_{\triangle EDC} = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40.$$

2. Площадь $\triangle ECK$:

   Треугольник $\triangle ECK$ лежит внутри треугольника $\triangle BCK$, площадь которого равна $40$. Точка $E$, деля медиану в отношении $2:1$, также делит площадь треугольника в том же отношении:

   $$S_{\triangle ECK} = \frac{2}{3} \cdot 40 = \frac{80}{3}.$$