1) В треугольнике MKP MK = 12 см, угол M = 30°, угол P = 90°. Плоскость α проходит через сторону MP и образует с плоскостью MKP угол 60°. Найдите расстояние от точки K до плоскости α.
2) Плоскость β проходит через сторону MN треугольника MKN. Сторона KN образует с плоскостью β угол 30°. Найдите синус угла между плоскостями β и MKN, если MK=12 см, KN=13 см, MN=5 см.

1) Расстояние от точки K до плоскости α

Дан прямоугольный треугольник $MKP$, где:

• $MK=12$ см — гипотенуза;
• $\angle M=30^\circ$;
• $\angle P=90^\circ$.

Так как это треугольник $30^\circ-60^\circ-90^\circ$, катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $MP$, а угол между плоскостями $MKP$ и $\alpha$ равен $60^\circ$.

Расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$ находится через перпендикуляр $KP$ к линии пересечения плоскостей $MP$:

Подставляем:

Ответ:

2) Синус угла между плоскостями β и MKN

Дан треугольник $MKN$:

Проверим:

Значит, треугольник прямоугольный, причём:

Плоскости $\beta$ и $MKN$ пересекаются по прямой $MN$. Обозначим угол между ними через $\varphi$.

Прямая $KN$ образует с плоскостью $\beta$ угол $30^\circ$.

В плоскости $MKN$ проведём высоту из точки $K$ на $MN$. Так как угол $M$ прямой, эта высота совпадает с $KM$:

В прямоугольном треугольнике $KNH$:

Связь между углом наклона прямой к плоскости и углом между плоскостями:

Подставляем значения:

Отсюда:

Ответ:

0 0 Пожаловаться