Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если A(8; -3), B(2; 5), C(10; 11), D(16; 3). Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Дано:

Четырёхугольник $ABCD$ с вершинами:

• $A(8; -3)$

• $B(2; 5)$

• $C(10; 11)$

• $D(16; 3)$

Требуется:

1. Доказать, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

2. Найти координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение

1. Докажем, что ABCD — параллелограмм.

По определению, параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Для доказательства найдём координаты векторов противоположных сторон.

Вычислим координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$:

Получили:

Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны.

Теперь найдём координаты векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$:

Получили:

Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ также параллельны и равны.

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$ попарно параллельны.

Значит, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

2. Найдём координаты точки пересечения диагоналей.

Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ через $O$.

Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

Подставим координаты точек $A(8;-3)$ и $C(10;11)$: