Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника образуют с плоскостью Р углы, равные α, а гипотенуза лежит в плоскости Р. Найти двугранный угол, образованный плоскостью треугольника с плоскостью Р, если [tex]Sina= \frac{ \sqrt{2}}{4} [/tex]

Дано:

Прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, у которого $\angle C=90^\circ$, $AC=BC$.

Гипотенуза $AB$ лежит в плоскости $P$, а катеты $AC$ и $BC$ образуют с этой плоскостью угол $\alpha$.

Известно:

Найти: двугранный угол $\varphi$ между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $P$.

Решение

1. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный и равнобедренный, его острые углы равны:

2. Проведём из вершины $C$ высоту $CM$ на гипотенузу $AB$.

Так как треугольник равнобедренный, высота $CM$ одновременно является медианой.

Из прямоугольного треугольника $ACM$:

3. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на плоскость $P$.

Так как катет $AC$ образует с плоскостью $P$ угол $\alpha$, получаем:

Поскольку $CM\perp AB$, а $CH\perp P$, проекция $HM$ также перпендикулярна $AB$.

Следовательно, угол $CMH$ является линейным углом искомого двугранного угла:

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CMH$.

По определению синуса:

Подставим найденные выражения:

Сокращаем $AC$:

По условию:

Следовательно,

Отсюда:

Ответ: