4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
5. Признак скрещивающихся прямых (формулировка, доказательство).
6. Определение параллельности прямой и плоскости (взаимное расположение прямой и плоскости).

4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

В стереометрии две прямые в пространстве могут располагаться тремя способами: пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

1. Пересекающиеся прямые

Определение: две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то записывают:

Свойства:

• Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.

• Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

• Пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

2. Параллельные прямые

Определение: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обозначение:

Свойства:

• Параллельные прямые не пересекаются.

• Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Теорема о параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

То есть если

то

3. Скрещивающиеся прямые

Определение: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Обозначение:

Однако важно помнить, что отсутствие общих точек ещё не означает, что прямые скрещиваются: они могут быть параллельными.

Свойства:

• Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.

• Они не лежат в одной плоскости.

• Через две скрещивающиеся прямые нельзя провести одну плоскость.

Например, в кубе некоторые рёбра, не имеющие общих вершин и не являющиеся параллельными, представляют собой скрещивающиеся прямые.

Сравнение взаимного расположения прямых

Таким образом, главное отличие параллельных прямых от скрещивающихся состоит в том, что параллельные прямые лежат в одной плоскости, а скрещивающиеся — нет.

5. Признак скрещивающихся прямых (формулировка, доказательство)

Формулировка теоремы

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Дано

Пусть:

• $a$ — прямая, лежащая в плоскости $\alpha$;

• $b$ — прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке $M$;

• точка $M$ не принадлежит прямой $a$.

Математическая запись:

Доказать: прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Доказательство

1. Предположим противное.

Допустим, что прямые $a$ и $b$ не являются скрещивающимися.

Тогда они должны лежать в одной плоскости, которую обозначим $\beta$.

2. Рассмотрим расположение плоскостей.

Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ по условию и в плоскости $\beta$ по нашему предположению, то обе плоскости содержат прямую $a$.

Следовательно, если плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, они пересекаются по прямой $a$:

3. Рассмотрим точку $M$.

По условию прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$.

При этом прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$