В прямой треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB = AC = 5, BC = 6, AA1 = 3. Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1BC.

Дано:

Прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, в которой:

• $AB=AC=5$;

• $BC=6$;

• $AA_1=3$.

Найти: расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1BC$.

Решение

Расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1BC$ можно найти через объём тетраэдра $A_1BCC_1$.

1. Найдём высоту треугольника $ABC$.

Так как $AB=AC=5$, треугольник $ABC$ равнобедренный.

Проведём высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому:

По теореме Пифагора:

2. Найдём площадь треугольника $A_1BC$.

Поскольку призма прямая, $AA_1\perp(ABC)$.

Следовательно, треугольник $AA_1M$ прямоугольный.

По теореме Пифагора:

Так как $AM\perp BC$ и $AA_1\perp BC$, то $A_1M\perp BC$.

Следовательно, $A_1M$ — высота треугольника $A_1BC$.

Его площадь:

3. Найдём объём тетраэдра $A_1BCC_1$