В ромбе проведены диагонали:
а) Докажи, что они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника;
б) Найди боковые стороны этих треугольников, если диагонали равны 12 и 18 см;
в) Найди углы этих треугольников, если один из углов ромба равен 78 градусам.

Дано: ромб $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажем, что диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Вспомним свойства ромба:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3. Все стороны ромба равны.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то:

Значит, все четыре треугольника $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ — прямоугольные.

Поскольку диагонали делятся пополам, получаем:

Следовательно, у всех четырёх прямоугольных треугольников попарно равны катеты.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) все четыре треугольника равны.

Что и требовалось доказать.

б) Найдём стороны треугольников, если диагонали равны 12 см и 18 см.

По условию:

Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то:

Следовательно, катеты каждого прямоугольного треугольника равны 6 см и 9 см.

Если нужно найти и третью сторону (гипотенузу), воспользуемся теоремой Пифагора:

Ответ к пункту б: катеты — $6$ см и $9$ см, гипотенуза — $3\sqrt{13}$ см.

в) Найдём углы треугольников, если один из углов ромба равен 78°.

Известно, что:

• Противоположные углы ромба равны.

• Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$.

• Диагонали ромба делят его углы пополам.

Если один угол ромба равен $78^\circ$, то соседний угол равен:

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, получаем:

А угол между диагоналями ромба равен $90^\circ$.

Проверим сумму углов одного из полученных треугольников:

Следовательно, углы каждого из четырёх треугольников равны $39^\circ$, $51^\circ$ и $90^\circ$